Што такое кансананс?

У папярэдняй нататцы мы даведаліся, як працуе гук. Давайце паўторым гэтую формулу:

ГУК = АСНОЎНЫ ТОН + УСЕ ШКОЛЬКІ АВЕРТОНАЎ

Акрамя таго, як японцы любуюцца вішнёвымі кветкамі, мы таксама будзем захапляцца графікам АЧХ – амплітудна-частотнай характарыстыкай гуку (мал. 1):

Нагадаем, што па гарызантальнай восі адкладзена вышыня тону (частата ваганняў), а па вертыкальнай восі - гучнасць (амплітуда).

Кожная вертыкальная лінія з'яўляецца гармонікам, першая гармоніка звычайна называецца асноўнай. Гармонікі размяшчаюцца наступным чынам: другая гармоніка ў 2 разы вышэй за асноўны тон, трэцяя — у тры, чацвёртая — у чатыры і г.д.

Дзеля сцісласці замест «перыядычнасць nй гармонік» мы проста скажам «nй гармонік», а замест «асноўнай частаты» — «частата гуку».

Такім чынам, гледзячы на ​​АЧХ, нам не складзе працы адказаць на пытанне, што такое кансананс.

Як лічыць да бясконцасці?

Кансананс літаральна азначае «сугучча», сумеснае гучанне. Як могуць гучаць два розныя гукі разам?

Намалюем іх на адной схеме адзін пад адным (мал. 2):

Вось і адказ: некаторыя з гармонік могуць супадаць па частаце. Лагічна выказаць здагадку, што чым больш супадаючых частот, тым больш «агульных» гукаў і, адпаведна, больш сугучча ў гучанні такога інтэрвалу. Калі быць зусім дакладным, важна не толькі колькасць супадаючых гармонік, але і тое, якая доля ўсіх гучачых гармонік супадае, гэта значыць стаўленне колькасці супадзенняў да агульнай колькасці гучачых гармонік.

Атрымаем найпростую формулу для разліку сугучча:

дзе N_саўп - колькасць супадаючых гармонік,  N_{агульны} — агульная колькасць гучачых гармонік (колькасць розных гучачых частот), а мінусы і з'яўляецца нашым жаданым сугуччам. Каб быць матэматычна правільным, лепш называць колькасць мера частотнага сугучча.

Што ж, справа за малым: трэба пралічыць N_саўп и N_{агульны}, падзяліце адно на другое і атрымаеце жаданы вынік.

Адзіная праблема ў тым, што і агульная колькасць гармонік, і нават колькасць адпаведных гармонік бясконцая.

Што адбудзецца, калі падзяліць бясконцасць на бясконцасць?

Зменім маштаб папярэдняй дыяграмы, “адыдзем” ад яе (мал. 3)

Мы бачым, што адпаведныя гармонікі адбываюцца зноў і зноў. Малюнак паўтараецца (мал. 4).

Гэта паўтарэнне дапаможа нам.

Нам дастаткова вылічыць стаўленне (1) у адным з пункцірных прамавугольнікаў (напрыклад, у першым), тады за кошт паўтораў і на ўсёй лініі гэта стаўленне застанецца ранейшым.

Для прастаты частату асноўнага тону першага (ніжняга) гуку будзем лічыць роўнай адзінцы, а частату асноўнага тону другога гуку запішам нескарачаемым дробам  .

У дужках адзначым, што ў музычных сістэмах, як правіла, выкарыстоўваюцца менавіта гукі, стаўленне частот якіх выражаецца некаторымі дробамі  . Напрыклад, інтэрвал квінты - гэта стаўленне  , кварты –  , трытон —   і г.д.

Вылічым стаўленне (1) унутры першага прамавугольніка (рыс. 4).

Падлічыць колькасць супадаючых гармонік даволі лёгка. Фармальна іх два, адзін адносіцца да ніжняга гуку, другі – да верхняга, на мал. 4 яны пазначаны чырвоным колерам. Але абедзве гэтыя гармонікі гучаць на адной частаце, адпаведна, калі палічыць колькасць супадаючых частот, то такая частата будзе толькі адна.

Якая агульная колькасць частот гучання?

Давайце паспрачаемся так.

Усе гармонікі ніжняга гуку размяшчаюцца цэлымі лікамі (1, 2, 3 і г.д.). Як толькі любая гармоніка верхняга гуку з'яўляецца цэлым лікам, яна будзе супадаць з адной з гармонік ніжняй. Усе гармонікі верхняга гуку кратныя асноўнаму тону , таму частата n-я гармоніка будзе роўная:

гэта значыць, гэта будзе цэлы лік (так як m з'яўляецца цэлым лікам). Гэта значыць, што верхні гук у прамавугольніку мае гармонікі ад першага (асноўнага тону) да n- О, значыць, гук n частоты.

Паколькі ўсе гармонікі ніжняга гуку размешчаны ў цэлых ліках, і згодна (3), першае супадзенне адбываецца на частаце m, атрымліваецца, што ніжні гук унутры прамавугольніка дасць m частоты гучання.

Варта адзначыць, што частата супадае m мы зноў лічылі два разы: калі лічылі частоты верхняга гуку і калі лічылі частоты ніжняга гуку. Але насамрэч частата адна, і для правільнага адказу трэба будзе адняць адну «лішнюю» частату.

Сума ўсіх частот гучання ўнутры прамавугольніка будзе:

Падставіўшы (2) і (4) у формулу (1), атрымаем просты выраз для вылічэння кансананса:

Каб падкрэсліць, сугучнасць якіх гукаў мы вылічылі, можна пазначыць гэтыя гукі ў дужках мінусы:

Выкарыстоўваючы такую ​​простую формулу, можна разлічыць сугучча любога інтэрвалу.

А цяпер разгледзім некаторыя ўласцівасці частотнага кансананса і прыклады яго разліку.

Уласцівасці і прыклады

Спачатку вылічым сугуччы для найпростых інтэрвалаў і пераканаемся, што формула (6) “працуе”.

Які інтэрвал самы просты?

Безумоўна, прыма. Дзве ноты гучаць ва ўнісон. На графіцы гэта будзе выглядаць так:

Мы бачым, што абсалютна ўсе частоты гучання супадаюць. Такім чынам, сугучча павінна быць роўна:

Цяпер падставім суадносіны ва ўнісон  у формулу (6), атрымаем:

Разлік супадае з «інтуітыўным» адказам, што і варта было чакаць.

Возьмем яшчэ адзін прыклад, у якім інтуітыўны адказ гэтак жа відавочны - актава.

У актаве верхні гук у 2 разы вышэй ніжняга (па частаце асноўнага тону), адпаведна, на графіцы гэта будзе выглядаць так:

З графіка відаць, што кожная другая гармоніка супадае, і інтуітыўна зразумелы адказ: кансананс складае 50%.

Вылічым яго па формуле (6):

І зноў разлічанае значэнне роўна «інтуітыўнаму».

Калі прыняць за ніжні гук ноту у і нанясіце на графік значэнне кансанансу для ўсіх інтэрвалаў у актаве (простыя інтэрвалы), атрымліваем наступную карціну:

Найвышэйшыя меры кансанансу — у актаве, квінце і кварце. Яны гістарычна спасылаліся на «ідэальныя» сугуччы. Малая і вялікая тэрцыі, а таксама малая і вялікая сэкста крыху ніжэй, гэтыя інтэрвалы лічацца «недасканалымі» сугуччамі. Астатнія інтэрвалы маюць меншую ступень кансанансу, традыцыйна адносяцца да групы дысанансаў.

Зараз мы пералічым некаторыя ўласцівасці меры частотнага кансанансу, якія вынікаюць з формулы для яе разліку:

1. Чым складаней суадносіны  (больш лік m и n), чым менш зычных інтэрвал.

И m и n у формуле (6) знаходзяцца ў назоўніку, таму з павелічэннем гэтых лікаў мера сугучнасці памяншаецца.

2. Вышэйшы сугуч інтэрвалу роўны сыходнаму сугуччу інтэрвалу.

Каб атрымаць інтэрвал уніз замест інтэрвалу ўверх, нам патрэбны каэфіцыент   абмен m и n. Але ў формуле (6) ад такой замены абсалютна нічога не зменіцца.

3. Памер частотнага сугучча інтэрвалу не залежыць ад таго, з якой ноты мы яго будуем.

Калі зрушыць абедзве ноты на аднолькавы інтэрвал уверх ці ўніз (напрыклад, пабудаваць квінту не з ноты у, але з нататкі рэ), то стаўленне  паміж нотамі не зменіцца, і, такім чынам, мера частотнага кансананса застанецца ранейшай.

Мы маглі б даць і іншыя ўласцівасці сугучнасці, але пакуль абмяжуемся імі.

Фізіка і лірыка

Малюнак 7 дае нам уяўленне аб тым, як працуе кансананс. Але ці так мы сапраўды ўспрымаем сугучча інтэрвалаў? Ці ёсць людзі, якім не падабаюцца ідэальныя сугуччы, але самыя дысанансныя гармоніі здаюцца прыемнымі?

Так, такія людзі, безумоўна, ёсць. І каб гэта растлумачыць, варта адрозніваць два паняцці: фізічнае сугучча и успрыманае сугучча.

Усё, што мы разглядалі ў гэтым артыкуле, звязана з фізічным сугуччам. Каб разлічыць яго, трэба ведаць, як працуе гук і як складаюцца розныя вібрацыі. Фізічнае сугучча стварае перадумовы для ўспрыманага сугучча, але не вызначае яго на 100%.

Ўспрыманае сугучча вызначаецца вельмі проста. У чалавека пытаюцца, ці падабаецца яму гэтае сугучча. Калі так, то для яго гэта сугучча; калі не, то гэта дысананс. Калі яму для параўнання даць два інтэрвалу, то можна сказаць, што адзін з іх падасца чалавеку ў дадзены момант больш зычным, другі - менш.

Ці можна вылічыць успрыманае сугучча? Нават калі выказаць здагадку, што гэта магчыма, то гэты разлік будзе катастрафічна ўскладнены, у яго ўвойдзе яшчэ адна бясконцасць – бясконцасць чалавека: яго досведу, слыхавых асаблівасцяў і здольнасцяў мозгу. З гэтай бясконцасцю справіцца не так проста.

Аднак даследаванні ў гэтай галіне працягваюцца. У прыватнасці, кампазітар Іван Сошынскі, які ласкава прадастаўляе аўдыёматэрыялы для гэтых нот, распрацаваў праграму, з дапамогай якой можна пабудаваць індывідуальную карту ўспрымання сугуччаў для кожнага чалавека. Цяпер распрацоўваецца сайт mu-theory.info, на якім кожны можа прайсці абследаванне і даведацца асаблівасці свайго слыху.

І ўсё ж, калі ёсць успрыманае сугучча, і яно адрозніваецца ад фізічнага, які сэнс вылічваць апошняе? Мы можам перафармуляваць гэтае пытанне ў больш канструктыўным ключы: як суадносяцца гэтыя два паняцці?

Даследаванні паказваюць, што карэляцыя паміж сярэднім успрыманым сугуччам і фізічным сугуччам складае парадку 80%. Гэта азначае, што кожны чалавек можа мець свае ўласныя індывідуальныя характарыстыкі, але фізіка гуку ўносіць пераважны ўклад у вызначэнне сугучча.

Вядома, навуковыя даследаванні ў гэтай галіне яшчэ толькі ў пачатку. А ў якасці гукавой структуры мы ўзялі адносна простую мадэль з некалькіх гармонік, а для разліку кансананса выкарыстоўвалі самае простае – частотнае, і не ўлічвалі асаблівасці дзейнасці мозгу пры апрацоўцы гукавога сігналу. Але той факт, што нават у рамках такіх спрашчэнняў была атрымана вельмі высокая ступень карэляцыі паміж тэорыяй і эксперыментам, вельмі абнадзейвае і стымулюе далейшыя даследаванні.

Прымяненне навуковага метаду ў галіне музычнай гармоніі не абмяжоўваецца вылічэннем сугучча, але і дае больш цікавыя вынікі.

Напрыклад, з дапамогай навуковага метаду музычную гармонію можна адлюстраваць графічна, візуалізаваць. Пра тое, як гэта зрабіць, мы пагаворым у наступны раз.

Аўтар – Раман Алейнікаў